Định thức không chỉ đơn thuần là một con số; nó là một hàm vô hướng duy nhất của ma trận vuông, đặc trưng cho hệ số mở rộng hình học của nó và khả năng nghịch đảo đại số. Bằng cách hiểu các quy tắc cốt lõi điều khiển tích và chuyển vị, chúng ta có thể phân tích các biến đổi phức tạp thành những bước tính toán đơn giản.
Sức mạnh của Tính chất tích
Có lẽ kết quả sâu sắc nhất trong lý thuyết định thức là Quy tắc Tích:
$$\det(AB) = \det(A)\det(B)$$
Đẳng thức này cho biết rằng hệ số giãn nở thể tích của một chuỗi biến đổi đơn giản chính là tích của các hệ số giãn nở riêng biệt. Từ đó, ta suy ra hệ quả ngay lập tức đối với các ma trận nghịch đảo:
Vì $A A^{-1} = I$, nên suy ra $\det(A A^{-1}) = \det(I) = 1$.
Theo quy tắc tích: $\det(A) \cdot \det(A^{-1}) = 1$.
Do đó, với mọi ma trận khả nghịch: $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A}$.
Tính đối xứng và Tính trực giao
Quy tắc 10 nêu rằng $\det A = \det A^T$. Điều này tạo ra sự đối xứng hoàn hảo giữa các hàng và các cột. Mọi tính chất ta chứng minh liên quan đến việc hoán vị hàng hay tổ hợp tuyến tính các hàng đều áp dụng tương tự cho các cột. Điều này dẫn ta đến trường hợp đặc biệt của Ma trận trực giao ($Q$):
- Một ma trận trực giao thỏa mãn $Q^T Q = I$.
- Theo quy tắc tích: $\det(Q^T) \det(Q) = \det(I) = 1$.
- Vì $\det Q^T = \det Q$, nên ta có $(\det Q)^2 = 1$.
- Kết luận: $\det Q = 1$ (quay) hoặc $\det Q = -1$ (phản chiếu).
Lưu ý về Không tuyến tính
Thật sự cần thiết phải nhớ rằng định thức là không phải một phép ánh xạ tuyến tính. Trong khi $f(A+B) = f(A) + f(B)$ đúng với các toán tử tuyến tính, thì nói chung là sai đối với định thức:
$$\det(A+B) \neq \det A + \det B$$
Hơn nữa, nhân một ma trận với $k$ sẽ dẫn đến $\det(kA) = k^n \det A$ đối với ma trận $n \times n$, vì $k$ làm thang bậc mỗi một trong $n$ hàng.
- $\det(AB) = \det(A)\det(B)$
- $\det(A^T) = \det A$
- $\det(kA) = k^n \det A$
- $\det(A^{-1}) = 1/\det A$